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Séminaire « Qu’est-ce qu’un objet mathématique ? » - Année 1

Publié le 13 octobre 2014 Mis à jour le 22 mars 2018
du 26 février 2014 au 24 juin 2014 Toulouse - Campus du Mirail
Séminaire « Qu’est-ce qu’un objet mathématique ? »
Le nombre

Séminaire organisé par Sébastien Miravète (chercheur associé ERRaPhiS). 

La première année du séminaire « Qu'est-ce qu'un objet mathématique ? » a eu pour thème « Qu'est-ce qu'un nombre, de la préhistoire jusqu'à nos jours ? ». L'objectif de ce séminaire est de s'interroger philosophiquement sur la nature des objets mathématiques à travers le cas archétypal du nombre. Cela peut intéresser toute personne qui se questionne sur la relation entre mathématique et réalité (les mathématiques décrivent-elles adéquatement le réel ?), ou toute personne soucieuse de mettre à jour ses connaissances. Le séminaire n'est absolument pas destiné à un public de spécialiste des mathématiques (même s'ils sont les bienvenus). Il est évidemment ouvert aux doctorants. Les concepts mathématiques y seront présentés de la façon la plus claire possible (nombreuses images et illustrations).

Programme
 
Mercredi 26 février 2014 (de 18h à 20h, Pavillon de la Recherche, salle OBM1)  : « Le nombre, de la préhistoire jusqu ’au début de l ’Antiquité » : En croisant les données de l ’archéologie des mathématiques, de la psychologie cognitive et des neurosciences, nous verrons que les nombres ne sont pas des entités idéales ou abstraites mais le fruit de l ’adaptation de l ’homme à son environnement et surtout à ses propres facultés. Les êtres humains ont inventé le nombre pour optimiser leurs propres capacités numériques innées.

Mercredi 19 mars (de 18h à 20h, Pavillon de la Recherche, salle OBM2) : Les êtres humains sont dotés de capacités numériques innées : des nouveaux-nés peuvent déjà comparer des quantités entre elles. Mais qu ’est-ce qu ’une quantité pour un nouveau-né ? Après avoir utilisé les données issues de la psychologie cognitive, nous mobiliserons cette fois-ci celles des neurosciences pour répondre à cette question. Nous traiterons en particulier de la différence entre machine analogique (synthétiseur) et machine numérique (ordinateur) et nous verrons que les scientifiques traitent actuellement le cerveau comme une machine analogique et non plus comme un ordinateur. Cette analyse nous permettra de faire la différence entre une capacité numérique et une représentation, et plus précisément entre une capacité, une représentation codée, et une représentation imagée. A partir de cette différence, nous pourrons alors nous interroger sur la façon dont les êtres humains se représentent les nombres. Nous verrons en particulier pour quelle raison la représentation des nombres est bouleversée à partir de l ’Antiquité par la découverte des incommensurables et de l ’infiniment petit. Comme la dernière fois, nous tâcherons de présenter simplement et clairement les principales notions (machine analogique, machine digitale, nombre naturels, rationnels, irrationnels, grandeurs incommensurables, infiniment petit). Nous croiserons encore une fois les résultats de plusieurs disciplines : archéologie des mathématiques, histoire des mathématiques, neurosciences, psychologie cognitive.

Mercredi 23 avril (de 18h à 20h, Pavillon de la Recherche, salle OBM1) : « Le nombre et une nouvelle pensée de l ’infini mathématique au XVIIe siècle : l ’aurore de la pensée de la relation » : Quel infini les Modernes ont-ils découvert ? Pourquoi l ’infini n ’est plus une entité qui augmente ou diminue sans fin ? En quoi cette découverte commence-t-elle à altérer en profondeur la nature des objets mathématiques ? Pourquoi les mathématiques semblent-elles devenues une science contradictoire ? Pourquoi la notion de nombre n ’a-t-elle pas disparu ? Nous montrerons que toutes ces questions ont eu une incidence considérable sur la philosophie. Nous partirons d ’Archimède pour finir par Leibniz, en passant par Galilée, Kepler, etc. Nous présenterons comme à chaque fois simplement et clairement les notions de calcul infinitésimal, d ’intégrale, de fonction, de référentiel, de coordonnées, etc., d ’algèbre, d ’analyse, et nous verrons pour quelle raison elles interpellent le philosophe. Les mathématiciens modernes sont en effet à la source d ’une des idées les plus importantes du XXe siècle : la relation (Structuralisme, Cybernétique, Deleuze, Simondon, etc.). 

Mercredi 4 juin (de 18h à 20h, Pavillon de la Recherche, salle OBM1) : « Dompter les nombres irrationnels et l ’infini : Dedekind et Cantor, le point et la relation » : Les Classiques (Leibniz, Descartes, etc.) ont inventé un nouveau concept d ’infini : l ’infini actuel. Celui-ci leur permet de penser de nouveaux nombres : les nombres irrationnels. Mais leur approche de l ’infini soulève des difficultés insurmontables : les mathématiques semblent devenues une science contradictoire. Comment les modernes sont-ils parvenus à sortir de cette impasse ? Autrement dit, comment élaborer, sans énoncer des absurdités, un concept de nombre irrationnel et d ’infini actuel ? Qu ’est-ce qu ’un nombre selon les perspectives de Dedekind, Peano ou Cantor ? En conclusion, nous observerons que les solutions apportées par les Modernes (Cantor, Dedekind) aux difficultés rencontrées par les Classiques ont néanmoins généré des difficultés inédites. Nous entreverrons alors mieux la "nature" des objets mathématiques au XXe siècle et leur évolution profonde depuis l ’Antiquité.